Invariantul (2)

ElZap

Acum, nu că ar fi nevoie să dăm o rezolvare problemei cu pomul minune, dar nu-i rău să scoatem la lumină invariantul ascuns în rezolvare.

Cei ce fac alergie la aritmetică, pot să sară peste deducţiile care urmează, deşi nu vom extrage nicio rădăcină pătrată, cubică sau de alt fel, ci cel mult nişte concluzii folositoare. Parcă, dacă n-aş fi spus că puteţi să săriţi, n-aţi fi putut s-o faceţi în voie?!

Dacă ne luăm după DEX ’98, acolo ni se spune despre invariant că el este o:

„mărime, relaţie, proprietate etc. care rămâne neschimbată în urma aplicării sau intervenţiei unei transformări.”

E clar ca lumina nopţii.

Să începem prin a reaminti enunţul problemei, că nimic nu ne costă să o copiem încă odată pe blog.

În pomul minune grădinarul a făcut să crească 25 banane şi 30 portocale. În fiecare zi el rupe două fructe şi în acelaşi timp în pom mai creşte un fruct. Dacă rupe două fructe de acelaşi fel atunci creşte o portocală, iar dacă rupe două fructe diferite atunci creşte o banană.

Care este ultimul fruct din acest pom minune şi de ce?

Înainte de a purcede la rezolvare, să observăm că la fiecare pas, culegătorul de fructe poate aplica una din următoarele trei „transformări”:

BB: Se iau din pom două banane, caz în care numărul de fructe scade cu o unitate. Mai precis dispar două banane şi apare o portocală (-2B+1P=-1F). Dacă numărul de banane a fost impar (aşa cum se şi întâmplă la început), el rămâne tot impar (25B-2B=23B; 17B-2B=15B; etc.).

PP: Se iau din pom două portocale. Şi acum numărul de fructe scade tot cu o unitate. Mai precis dispar două portocale şi apare o nouă portocală (-2P+1P=-1F). Treaba e că, numărul de banane nu se schimbă prin această transformare, aşa că… dacă el a fost impar, tot impar rămâne.

BP (sau dacă vreţi PB): Se iau din pom o banană şi o portocală. În pom creşte la loc o altă banană. Este evident că şi acum numărul de fructe scade cu o unitate, dar numărul de banane nemodificându-se el rămâne tot impar, dacă impar a fost.

Cum „transformările” de mai sus, pot fi puse în operă de către grădinar, cum are el chef, a ne apuca să socotim câte de-alea şi câte de celelalte au rămas în pom după fiecare zi, ar fi un adevărat calvar. Un milion de miliarde de miliarde de cazuri şi subcazuri.

Băgăm însă de seamă că:

după fiecare transformare numărul de banane rămâne impar.

Hopa! Asta-i bine. Adică oricum ar culege grădinarul fructe din pom, numărul de banane rămâne impar? Sigur că da.

Mai trebuie să observăm că, deşi în fiecare zi grădinarul ia din pom două fructe, numărul acestora scade exact cu o unitate. Scade precum nivelul de trai, după aplicarea unor măsuri de reformare a statului. Puţin dar sigur. Chiar riguros. De crescut nici vorbă, că nu ni se spune că s-ar pune mai mult de două fructe la loc. Aşadar vom avea pe rând 25+30=55; 54; 53; … fructe.

Atâta vreme cât în pom mai sunt cel puţin două fructe, este evident că grădinarul poate opera o transformare, deci nu se poate înţepeni mecanismul care aplică transformări. E un fel de jaf asigurat, ar zice unii. Cu alte cuvinte tot ajungem până la urmă la fundul satului. Asta spre bucuria noastră, sau a celor ce ne vor călca pe urme.

Doar când în pom rămâne un singur fruct, toată treaba se opreşte şi nouă nu ne rămâne decât să vedem ce fruct e cel ce a rămas în orango-bananierul nostru. Nu contează că acum socotim nimicul. Aşa am vrut-o, sau aşa a vrut grădinarul. Parcă mai contează. Ne reamintim că:

după fiecare transformare numărul de banane rămâne impar.

E clar că nu putem avea zero banane şi una portocală, că atunci numărul de banane ar fi par (zero este totuşi număr par, deşi nu-i clar cine cu cine se însoţeşte).

Aşadar în pom a rămas o singură banană, stingheră ca o cioară vopsită portocaliu.

Şi invariantul? Păi, invariantul este tocmai „proprietatea” în roşu, adică „numărul de banane este impar”.

Acum, noi am fi putut mânca liniştiţi banane sau portocale din pomul ăsta, chiar dacă habar n-aveam despre invarianţi, ba chiar am fi putut tăia pomul cu totul, precum a făcut Alexandru Macedon cu nodul gordian.

Ce am băgat eu de seamă în astă problemă e un lucru extrem de simplu.

În lumea în care trăim, de multe ori întâlnim lucruri importante, folositoare, periculoase, sau ziceţi-le cum vreţi dumneavoastră, ce nu ne sar în ochi de la început, dar care pot fi un fel de invarianţi roşii care şi-au schimbat doar culoarea.

Dacă de exemplu, întâlniţi un invariant lup, îmbrăcat în blană de oaie, ce faceţi? Nu folosiţi în mod eficient resursele pedestre, arma din dotare, sau cel puţin trageţi zăvorul după ce v-aţi închis în casă, având grijă ca el să rămână pe-afară?

Faceţi cum credeţi, dar să n-avem vorbe, şi să-mi spuneţi că n-aţi auzit de invarianţi.