Plimbare sau inspecţie

ElZap


Un parc cu alei. Ca cele din figura de mai sus. Simplu.
Dacă vreţi putem să le dăm şi nume vârfurilor dreptunghiului. A, B, C, D. Începând din coltul stânga sus. Mergem după cum merg acele ceasornicului. Putem să-i dăm centrului numele O.

Lăţimea dreptunghiului: 6 metri.
Lungimea dreptunghiului: 8 metri.
Lungimea diagonalelor? Inutil să spun. Evident 10 metri. Din cauză de Pitagora.
Câte cinci metri de fiecare parte a centrului.

Un paznic. Rolul lui? În fiecare zi să inspecteze aleile metru cu metru.Nu trebuie să lase nimic neinspectat.

El poate începe din oricare colţ. Dacă vrea poate începe şi din centru.

El ar vrea să parcurgă un traseu cât mai scurt. Nu are voie să ţopăie dintr-un colţ în altul. Poate termina oriunde.

Cam câţi metri are de inspectat paznicul zilnic?

Explicaţiile se impun.

UPDATE:
Un desen mai acătării:















REZOLVARE (PROGRESIVĂ):

R1:

Dacă o figură este formată din "insule" (ca în exemplul de mai jos) paznicul nu poate parcurge/inspecta toate aleile în niciun fel.



(De la A la E nu pot ajunge decât cu elicopterul.)
Urmează R2.





INTERMEZZO

Pentru acei copii mari sau mici care nu au obosit să se joace cu creionul pe hârtie.
Cine ştie ce drăcie mai poate ieşi din jocul ăsta?



R2:

Să presupunem de acum încolo că reţeaua de alei nu are insule ca în exemplul de mai sus, aşa că paznicul o poate inspecta fără bătaie de cap. Este şi cazul cu reţeaua din problema noastră.

Să zicem că îi cerem paznicului să facă în aşa fel încât să nu treacă de două ori pe o alee.

Dacă paznicul pleacă din intersecţia X şi termină inspecţia în intersecţia Y, o să vedem că pentru orice intersecţie Z, alta decât cele două X, Y numărul de alei ce se întâlnesc în Z este par. Asta din cauză că pe o alee a intrat şi pe una a ieşit din Z (le poate şterge din desen dacă vrea, ca să nu ne mai încurce la socoteli), şi nu a rămas nicio alee neparcursă care să fie vecină cu Z.

Pentru punctele de start şi stop X, Y, vom avea un număr impar de alei ce se întâlnesc în ele dacă ele sunt diferite, sau un număr par dacă sunt identice.

În concluzie:

Dacă numărul de intersecţii cu un număr impar de alei adiacente, este diferit de 2 sau 0, nu poate nimeni să parcurgă reţeaua trecând doar odată pe fiecare alee.

Este şi cazul reţelei noastre ce are 4 intersecţii impare. Prin urmare cade posibilitatea ca paznicul să parcurgă reţeaua în 48 de metri.

Exemplul 1



În acest exemplu aleile pot fi parcurse o singură dată, numai dacă pornim din unul din punctele C sau H.






Exemplul 2



În acest exemplu aleile pot fi parcurse o singură dată, pornind din oricare din punctele rețelei.





Exemplul 3



Nu există posibilitatea de a parcurge rețeaua o singură dată din cauză că am 4 puncte ce au un număr impar de alei adiacente.






Ar mai trebui să demonstrăm că în situaţia în care o reţea de alei are 0 sau 2 intersecţii cu un număr impar de alei care intră/ies din ele, totdeauna putem inspecta aleile trecând o singură dată pe fiecare alee. În plus, punctul de plecare se află în intersecţiile impare (dacă sunt două) sau într-o intersecţie arbitrară dacă sunt 0 intersecţii impare.

R3:



Cum rețeaua din problemă nu poate fi parcursă trecând o singură dată pe fiecare alee, caz în care paznicul ar avea de parcurs 48 de metri, suntem obligați să permitem paznicului să treacă de cel puțin două ori pe una sau mai multe alei.

Este evident că a-i permite să treacă de două ori pe o alee este echivalent cu a înlocui o alee cu două identice (a o dubla). Încercăm să dublăm aleile de 5m, 6m, 8m, ca în figura alăturată.

Dublarea aleii de 5 metri nu permite parcurgerea rețelei pentru că avem patru intersecții impare (A, C, D, O). Așadar nu putem avea un traseu de 48+5=53 metri.

Putem dubla oricare din aleile de 6 metri (o putem face în două moduri), sau de 8 metri (la fel o putem face în două moduri).

Evident, o vom alege pe cea de 6.
În acest caz obținem un traseu de 48+6=54 metri.

Răspuns corect
Paznicul trebuie să parcurgă zilnic 54 de metri.

Prima care a dat un răspuns corect, fără să ne ajute însă cu o motivație, a fost

INA.

Felicitări!