marți, 5 ianuarie 2010

Invariantul (2)

ElZap

Acum, nu că ar fi nevoie să dăm o rezolvare problemei cu pomul minune, dar nu-i rău să scoatem la lumină invariantul ascuns în rezolvare.

Cei ce fac alergie la aritmetică, pot să sară peste deducţiile care urmează, deşi nu vom extrage nicio rădăcină pătrată, cubică sau de alt fel, ci cel mult nişte concluzii folositoare. Parcă, dacă n-aş fi spus că puteţi să săriţi, n-aţi fi putut s-o faceţi în voie?!

Dacă ne luăm după DEX ’98, acolo ni se spune despre invariant că el este o:

„mărime, relaţie, proprietate etc. care rămâne neschimbată în urma aplicării sau intervenţiei unei transformări.”

E clar ca lumina nopţii.

Să începem prin a reaminti enunţul problemei, că nimic nu ne costă să o copiem încă odată pe blog.

În pomul minune grădinarul a făcut să crească 25 banane şi 30 portocale. În fiecare zi el rupe două fructe şi în acelaşi timp în pom mai creşte un fruct. Dacă rupe două fructe de acelaşi fel atunci creşte o portocală, iar dacă rupe două fructe diferite atunci creşte o banană.

Care este ultimul fruct din acest pom minune şi de ce?

Înainte de a purcede la rezolvare, să observăm că la fiecare pas, culegătorul de fructe poate aplica una din următoarele trei „transformări”:

BB: Se iau din pom două banane, caz în care numărul de fructe scade cu o unitate. Mai precis dispar două banane şi apare o portocală (-2B+1P=-1F). Dacă numărul de banane a fost impar (aşa cum se şi întâmplă la început), el rămâne tot impar (25B-2B=23B; 17B-2B=15B; etc.).

PP: Se iau din pom două portocale. Şi acum numărul de fructe scade tot cu o unitate. Mai precis dispar două portocale şi apare o nouă portocală (-2P+1P=-1F). Treaba e că, numărul de banane nu se schimbă prin această transformare, aşa că… dacă el a fost impar, tot impar rămâne.

BP (sau dacă vreţi PB): Se iau din pom o banană şi o portocală. În pom creşte la loc o altă banană. Este evident că şi acum numărul de fructe scade cu o unitate, dar numărul de banane nemodificându-se el rămâne tot impar, dacă impar a fost.

Cum „transformările” de mai sus, pot fi puse în operă de către grădinar, cum are el chef, a ne apuca să socotim câte de-alea şi câte de celelalte au rămas în pom după fiecare zi, ar fi un adevărat calvar. Un milion de miliarde de miliarde de cazuri şi subcazuri.

Băgăm însă de seamă că:

după fiecare transformare numărul de banane rămâne impar.

Hopa! Asta-i bine. Adică oricum ar culege grădinarul fructe din pom, numărul de banane rămâne impar? Sigur că da.

Mai trebuie să observăm că, deşi în fiecare zi grădinarul ia din pom două fructe, numărul acestora scade exact cu o unitate. Scade precum nivelul de trai, după aplicarea unor măsuri de reformare a statului. Puţin dar sigur. Chiar riguros. De crescut nici vorbă, că nu ni se spune că s-ar pune mai mult de două fructe la loc. Aşadar vom avea pe rând 25+30=55; 54; 53; … fructe.

Atâta vreme cât în pom mai sunt cel puţin două fructe, este evident că grădinarul poate opera o transformare, deci nu se poate înţepeni mecanismul care aplică transformări. E un fel de jaf asigurat, ar zice unii. Cu alte cuvinte tot ajungem până la urmă la fundul satului. Asta spre bucuria noastră, sau a celor ce ne vor călca pe urme.

Doar când în pom rămâne un singur fruct, toată treaba se opreşte şi nouă nu ne rămâne decât să vedem ce fruct e cel ce a rămas în orango-bananierul nostru. Nu contează că acum socotim nimicul. Aşa am vrut-o, sau aşa a vrut grădinarul. Parcă mai contează. Ne reamintim că:

după fiecare transformare numărul de banane rămâne impar.

E clar că nu putem avea zero banane şi una portocală, că atunci numărul de banane ar fi par (zero este totuşi număr par, deşi nu-i clar cine cu cine se însoţeşte).

Aşadar în pom a rămas o singură banană, stingheră ca o cioară vopsită portocaliu.

Şi invariantul? Păi, invariantul este tocmai „proprietatea” în roşu, adică „numărul de banane este impar”.

Acum, noi am fi putut mânca liniştiţi banane sau portocale din pomul ăsta, chiar dacă habar n-aveam despre invarianţi, ba chiar am fi putut tăia pomul cu totul, precum a făcut Alexandru Macedon cu nodul gordian.

Ce am băgat eu de seamă în astă problemă e un lucru extrem de simplu.

În lumea în care trăim, de multe ori întâlnim lucruri importante, folositoare, periculoase, sau ziceţi-le cum vreţi dumneavoastră, ce nu ne sar în ochi de la început, dar care pot fi un fel de invarianţi roşii care şi-au schimbat doar culoarea.

Dacă de exemplu, întâlniţi un invariant lup, îmbrăcat în blană de oaie, ce faceţi? Nu folosiţi în mod eficient resursele pedestre, arma din dotare, sau cel puţin trageţi zăvorul după ce v-aţi închis în casă, având grijă ca el să rămână pe-afară?

Faceţi cum credeţi, dar să n-avem vorbe, şi să-mi spuneţi că n-aţi auzit de invarianţi.

43 de comentarii:

  1. Era tipa de la M.J. Hu, din Banat.A fost in tren cu brunetul asta vara.

    RăspundețiȘtergere
  2. bun. Fa-l acum pe gradinar sa lase la urma o portocala. Vreau sa vad daca se pot contrazice, anula, sfida invariantii.
    Daca nu e posibil, trebuie sa ne resemnam cu invariantii. E matematica pura.

    RăspundețiȘtergere
  3. Dupa plecarea ei a aparut schimbarea radicala la E.Fara ajutor nu ma pot descurca. Stiu ca caii sunt dezastru la drum... ca e lup. Dar ... singura nu razbesc. Spune ce sa fac ??? Sau fa .. naibii ce3va.Mi-ai spus ca e lup... dar e plin de ei si fara ajutor ma asteapta THE END !!!

    RăspundețiȘtergere
  4. De acord:mai bine cu sacrificii dar sa fim in siguranta.Fa ceva sa plecam dsin incercuire !!!

    RăspundețiȘtergere
  5. Nu stiu situatia asa ca nu scriu. Fa ce se poate sa lasam in urma situatia. Vezi ca e insutenabila.TE ROG !!!

    RăspundețiȘtergere
  6. Nu pricep nimic . Nu exista situatie ideala, dar exista o cale rapida si fezabila. Facem ce se poate face.Nu inteleg invariantii.Fa ce se poate face rapid.RAUL CEL MAI MIC !!!

    RăspundețiȘtergere
  7. O.K! E lup si sa inchidem usa cu zavorul ! Cum s-o fac , cu ce, cu cine ! ???Nu pot dialoga pt. ca nu pricep datele problemei.

    RăspundețiȘtergere
  8. Poza bY A.M. din A. e sugestiva.Trecem la pierderi planificate.Lasam la urma o portocala !!

    RăspundețiȘtergere
  9. @Ina

    Sigur că nu se poate, dar pate că aşa ar fi trebuit formulată întrebarea din problemă.
    Altfel se bănuieşte că o singură soluţie ar sugera că s-au parcurs toate cazurile.

    RăspundețiȘtergere
  10. @Anonimus
    În principiu, cred că ai dreptate, iar întrebările tale sunt justificate.

    Rămâne să le analizez cu atenţie pentru a mă pronunţa în cunoştinţă de cauză.

    RăspundețiȘtergere
  11. Am citit de nenumărate ori postul acesta, fiindcă e minunat să savurezi "simplul perfect" (a nu se confunda cu perfectul simplu, acel ceva, aparent la îndemână, la care presimţi că nu vei ajunge niciodată, oricât ţi-ai complica existenţa).
    De îndată ce am înţeles rezolvarea, problema asta mi s-a părut "...frumoasă, în rochia ei simplă, albă, de o mie de dolari..."
    Apoi m-am felicitat că n-am încercat să-mi amintesc ecuaţii cu una sau cu două necunoscute, fiindcă am bănuit că nu-mi vor folosi la nimic.
    Abia într-un târziu, la recitiri, am realizat că soluţia e cu atât mai fermecătoare cu cât mai fermecător ţi-e prezentată.
    Dacă în viaţa asta nu eşti profesor, ai fost, cu siguranţă, în una anterioară sau vei,într-una una viitoare.

    RăspundețiȘtergere
  12. TREBUIE sa te GRABESTI, altfel....ma duc pe un drum fortat.

    RăspundețiȘtergere
  13. Te rog sa ma iertzi dar nu e cinstit ace3st joc in care eu nu stiu datele problemei.Hai odata si rewzolva ce e de rezolvat . TE ROG !!!

    RăspundețiȘtergere
  14. Pana una -alta, un lucru e aproape limpede ca lumina noptii, El Zap: faptul ca te-ai procopsit cu o oarece dORA:))

    RăspundețiȘtergere
  15. @renata

    Dacă ţi-a plăcut rezolvarea, e semn că trebuie să mă apuc de profesat.

    Sau poate e doar un semn că am înţeles şi eu problema.

    (Nu băga mâna în foc, pentru toţi profesorii de matematică. Unii nu cunosc soluţia, dar îi pică pe elevi.)

    RăspundețiȘtergere
  16. @Anonim

    Mă grăbesc cât pot. Condiţiile la limită ale problemei sunt de aşa natură încât limitează orizontul proxim.

    RăspundețiȘtergere
  17. @Anonim
    Mi se pare că aici este un "joc cu suma nulă". Tu ce părere ai. Consultă biblografia de pe net.

    RăspundețiȘtergere
  18. @zazania

    Şi tu ai dreptate. Poate-i laşi adresa de mail. :))

    A ta sau a împăratului.

    RăspundețiȘtergere
  19. I-as lasa-o cu draga inima (sic) dar pe tine te vrea!
    Hahaha!

    RăspundețiȘtergere
  20. @zazania

    Păi, dacă mă vrea, nu-i chiar rău.

    RăspundețiȘtergere
  21. Orizontul nu e proxim ??? Trebuie sa-mi trimiti macar date peentru fonduri. Nu crezi ca sunt total in aer??? Regret :daca nu intelegi ca nu se mai poate asa e f. trist pentru noi.Nici cu nervii, nici material, nici moral, nicicum... nici uman o solutie ( fie si temporara sau partiala ) nu se mai poate amana.Nu-mi arde de nici o gluma. Aici nu mai rezist.Te vreau ,dar vad ca nu se intampla nimic, nu stiu nimic.Va fi ce va fi. Nu am ce face. Nici o scuza nu se accepta. Poti sa aqpari macar in calitate de manager sau prieten.

    RăspundețiȘtergere
  22. Am inteles:m-ai curatat de bani.Ai lasat doar de inmormantare si te si distreaza.

    RăspundețiȘtergere
  23. Iti promit ca nu vei scapa!!!

    RăspundețiȘtergere
  24. Cred ca am fost prea optimista: nici macar bani de inmormantare !Ouah!!

    RăspundețiȘtergere
  25. Oh! E minunat ! Am fost curatata cu ajutorul rudelor celor mai apropiate! A fost o lectie dura ! E de mult ! Intr-un fel stiam ca n-am cum sa bat sistemul ! Mi-a facut placere sa am totusi un aliat, un prieten ! N-am putut schimba lumea, dar am incercat ! Ce grozav: ce sa aleg, otravirea ( s-a mai produs, s-au reaprovizionat !), tradarea, santajul, criza de rinichi, infectia si sangerarea cu dureri oribile din cap, durerea tradarii ???? Nu de tine vorbesc Renule. A fost si este o fericire ca te-am avut . Sper sa te mai am, cel putin in calitate de prieten. Am invatat totusi o lectie importanta: ce minuni pot face fie si pe timp scurt doi oameni solidari, cu valori,... OAMENI !

    RăspundețiȘtergere
  26. Multumesc Renu ! Chiar daca e o relatie aparent nepotriviota ( totusi, cred , ca ai in jur de 40 de ani) ne-am oferit o daruire ce greu poate fi egalata ! Este o vorba romaneasca f. la moda si draga: victima e vinovata ! In cumplita era a ticalosilor a fost un joc prea dur ! Sunt o luptatoare ! Mai bine moartea decat sindromul STOCHOLM ! Valabil si pentru rude. Am pierdut o batalie si nu razboiul ! Nu vreau sa mai aud de ei . Eu oricum voi fi in exil , pentru ca imi sant straini toti. Ce sarba mi-e de toti !

    RăspundețiȘtergere
  27. Singura mea speranta e sa fiu atat de bine sa mai pot scrie. Nu prea cred ca va fi posibil ! la asa o conspiratie EXITUL va fi rapid ! Daca supravietuiesti scrie povestea, da o mai departe ! Acum daca ma gandesc , mirarea e ca am supravietuit pina acum . Sunt mandra de noi , !!

    RăspundețiȘtergere
  28. Te rog sa nu ma paraseseti ! Fara tine nu pot trai. In sensul cel mai propriu. Fara tine , cu adevarat, se intuneca Universul : Ce fericita as fi daca as ramane cu tine ! Tot ma rog: poate sunteti doi ! te iubesc nespus ! Te ador ca pe insasi viata. E absurd poate ce-ti spun: dar e o mare minune sa iubesti la varsta asta si sa si simti ca esti iubit. Sa nu dispretuiesti iubirea mea pentru tine : nu poti dispretui un miracol, un unicat, ceva profund si exceptional ! Te ador ca pe viata insasi. Cred ca chiar mai mult !

    RăspundețiȘtergere
  29. aaaaaaaaaaaaaaAi spus ca analizezi situatia. Se poate face ceva ?

    RăspundețiȘtergere
  30. Renu, hai sa ne revenim! Am o idee: vrei sa lasam blogurile gratuite si sa scriem niste cartzi impreuna.De pilda: Citate despre politica. Cu comentarii. Sau: Sisteme electorale comparate. Tu esti bun la cautat.Ar trebui sa ne concentram pe ce putem face.Spune ceva !

    RăspundețiȘtergere
  31. Renu, renunt la portocala daca vii sa ma iei. Cu fericire ! TE ROG !!

    RăspundețiȘtergere
  32. @Anonim

    Pentru moment nu pot. Sunt într-o excursie în Budapesta.

    Remu

    RăspundețiȘtergere
  33. Exista doua variante, cred, in care fructul final este o portocala.
    1- schimbam bananele cu portocalele si pastram modul de calcul
    2- schimbam modul de calcul, adica doua fructe de acelasi fel= banana, iar fructe diferite=portocala, mentinanad 30 portocale si 25 banane.
    Ar mai fi metoda de care m-ai intrebat cu “aranjarea”.
    Ma plimb pe langa pomul laudat pana vine gradinarul si ii cer o banana, fiindca poftesc.
    Dupa ce raman 24 de banane invariantul se schimba.
    Cam asa a fost si la prezidentiale rezultatul s-a schimbat din cauza unei banane.
    As putea sa folosesc magia ca sa fac banana sa dispara, la fel cum au facut unii sa dispara vapoare si sa apara voturi, iar rezultatul invariantului s-ar schimba in mod magic.

    RăspundețiȘtergere
  34. ElZap, ce m-as face fara tine ??? Multumesc pentru tot.Tipul din tren de asta vara cred ca era ofiter SRI.

    RăspundețiȘtergere
  35. ElZap, multumesc pentru flori ! Le-am primit. Povestirea renatei m-a facut sa plang pt. ca am inteles ca mi-au vandut casa, au golit-o, mi-au golit toti banii .Asa ca n-o lua pe partea sentimentala ... ca gresesti. Sunteti asa de putini in care mai cred incat viata nu stiu cum mai poate fi traita. Iarta-ma daca am gresit, dar cred ca oricine care ar fi trecut prin ce am trecut eu ar fi la fel de traumatizat. Iertare pentru slabiciunea din bucatarie. MULTUMESC PENTRU VIATA !

    RăspundețiȘtergere
  36. Stiu El de ce spui ca trebuie sa renunt la portocala daca te vreau ! Daca numai asa se poate atunci sunt gata. Nu ma asteapta acolo decat un cösmar prelungit ( si nu prea ).

    RăspundețiȘtergere
  37. Nu te impacienta, ElZap!
    dORA pleaca de bunavoie si nesilita de nimeni dupa ce-ti face blogul varza.
    Am incredere c-o sa-ti revii cat se poate de grabnic.

    RăspundețiȘtergere
  38. @zazania
    Nu moare omul de dorul verzei murate.
    Eu cred că vântul a scăzut în intensitate şi condiţiile meteo dau să se îmbunătăţească.
    Asta face bine oamenilor meteosensibili.

    RăspundețiȘtergere
  39. @Lolita

    După poza de pe blogul tău, n-aş zice că eşti profesoară de matematică. Doar triunghiul isoscel ar putea să te trădeze.

    "Tanquam ex ungue leonem" ca să-ţi răspun cu fraza lui Bernoulli.

    Răspunsul perfect.

    Explicaţia însă lipseşte, aşa că eu puteam să mă fac că nu pricep.

    Nu bagi o demonstraţie? Ar fi superb.
    Poate că ar fi interesant.
    Aş putea să o bag eu, dar nu ar fi cinsit.

    Şi consideraţiile "pe lângă" au o savoare aparte.

    RăspundețiȘtergere
  40. @Anonim

    Uite că şi Lolita a renunţat. Mai precis a încurcat magistral portocalele cu bananele şi i-a ieşit o soluţie de... problemă.

    Tu ce părere ai de soluţiile Lolitei?

    RăspundețiȘtergere
  41. Doamne, ElZap! Dacă am trăi vremuri fericite şi am avea mult, mult timp liber, careva dintre noi ar putea să scrie un roman-jurnal, pornind de la "anonimul"tău comentator. Nu ştiu dacă e meteosensibil sau meteorezistent, dar mie mi se pare meteointeresat.
    Încerc să-i întrezăresc culoarea, fiindcă sigur are una.
    FeIII[FeIIIFeII(CN)6]3 · 14–16 H2O
    (am preferat un copypaste la formulă, fiindcă mi-e lene să deschid cartea de chimie analitică)

    RăspundețiȘtergere
  42. @renata
    Şi zâzania zicea ceva interesant despre problema în cauză.

    RăspundețiȘtergere